\section{$\symbf{\lambda}$-矩 阵}

\begin{frame}{$\symbf{\lambda}$-矩阵及其运算}

  设 $P$ 是一个数域， $\lambda$ 是一个文字， 作多项式环 $P[\lambda]$. 一个矩阵， 如果它的元素是 $\lambda$ 的多项式，即 $P[\lambda]$ 的元素， 就称为 \emph{$\lambda$-矩阵} (Lambda matrix)。 所有$m\times n$的$\lambda$-矩阵构成的集合记为$P[\lambda]^{m\times n}$.
  在这一章， 我们来讨论 $\lambda$-矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上一章第八节中关于若尔当标准形的主要定理。

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因为数域 $P$ 中的数也是 $P[\lambda]$ 的元素， 所以在 $\lambda$-矩阵中也包括以数为元素的矩阵。 为了与 $\lambda$-矩阵相区别， 有时我们把以数域 $P$ 中的数为元素的矩阵称为数字矩阵。 以下用 $ A(\lambda),  B(\lambda), \cdots$ 表示 $\lambda$-矩阵。

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我们知道， $P[\lambda]$ 中的元素可以作加、减、乘三种运算， 并且它们与数的运算有相同的运算规律。 而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法与乘法， 因此， 我们可以同样定义 $\lambda$-矩阵的加法、标量乘法 (scalar multiplication) 与乘法， 它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律（结合律、分配律等）， 这些就不重复叙述与证明了。

\end{frame}


\begin{frame}{$\symbf{\lambda}$-矩阵的行列式、秩}

  行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法， 因此， 同样可以定义 $n \times n$ 的 $\lambda$-矩阵的行列式 (determinant)。
  和以前一样，我们也用$|A(\lambda)|$或$\det A(\lambda)$表示$\lambda$-矩阵的行列式。
  一般地， $\lambda$-矩阵的行列式是 $\lambda$ 的一个多项式，这样我们有映射 
\[
  \det\colon P[\lambda]^{n\times n}\rightarrow P[\lambda].
\]

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$\lambda$-矩阵的行列式与数字矩阵的行列式有相同的性质。
例如， 我们也有行列式与矩阵乘积的相容性：
\[
  \det \left(A(\lambda)B(\lambda)\right)=\det \left( A(\lambda) \right)\det \left( B( \lambda) \right),
\]
即对于 $\lambda$-矩阵的行列式，矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积。


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要得到这些性质，检查以前的证明即可；如上一页所言，本质上与之前对数字矩阵的证明相同，之前的证明可逐字逐句地搬过来。\footnote{我们还有另外两种方法。
一方面，我们有个办法能做到把复矩阵相关的等式搬到一般的交换环上的矩阵上，参见~[Artin, \S14.3].
另一方面，虽然我们之前都放在数域上谈行列式的性质，把数域换成一般的域所有结论依然成立，进而我们可以视$\lambda$-矩阵为$P[\lambda]$的分式域$P(\lambda)$上的矩阵，这样域上的行列式的结论都可用。}

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既然有行列式，也就有 $\lambda$-矩阵的子式的概念。 利用这个概念， 我们有

\begin{definition}
  如果 $\lambda$-矩阵 $A(\lambda)$ 中有一个 $r$ ($r \geqslant 1$) 阶子式不为零， 而所有 $r+1$ 阶子式 (如果有的话) 全为零， 则称 $ A(\lambda)$ 的秩 (rank) 为 $r$. 零矩阵的秩规定为零。$A(\lambda)$的秩记作$\rank A(\lambda)$.
\end{definition}

对于数字矩阵， 这与以前的定义是一致的。

\end{frame}





\begin{frame}{可逆的$\symbf{\lambda}$-矩阵}

与以前一样， 我们还有
\begin{definition}
  $n \times n$ 的 $\lambda$-矩阵 $ A(\lambda)$ 称为\emph{可逆}的 (invertible)， 如果存在 $n \times n$ 的 $\lambda$-矩阵 $ B(\lambda)$ 使得
  \[\tag{1}
  A(\lambda)  B(\lambda)= B(\lambda)  A(\lambda)= E,
 \]
 其中 $ E$ 是 $n$ 阶单位矩阵。 适合 (1) 的矩阵 $ B(\lambda)$ (它是唯一的) 称为 $ A(\lambda)$ 的\emph{逆矩阵} (inverse (matrix))， 记为 $ A^{-1}(\lambda)$ 或 $A(\lambda)^{-1}$.
 \end{definition}

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%关于 $\lambda$-矩阵可逆的条件有：
 \begin{theorem}\label{0FF}
$n \times n$ 的 $\lambda$-矩阵 $ A(\lambda)$ 是可逆的充分必要条件为行列式 $| A(\lambda)|$ 为一非零数。
\end{theorem}

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\begin{proof}
  设$d=|A(\lambda)|$为非零数。令$A^*(\lambda)$为$A(\lambda)$的伴随矩阵，它也是$\lambda$-矩阵，且满足
  \[
    A^*(\lambda)A(\lambda)=d E= A(\lambda) A^*(\lambda).
  \]
  既然$d$是非零数，我们知$\frac{1}{d} A^*(\lambda)$为$A(\lambda)$的逆矩阵。
  反过来，设$A(\lambda)$可逆，且$B(\lambda)$是$A(\lambda)$的逆。那么$A(\lambda)B(\lambda)=E$.
  两边取行列式得$\det A(\lambda) \det B(\lambda)=1$. 
  注意到$\det A(\lambda), \det B(\lambda)$都是多项式，
  这样只有$\det A(\lambda)$是非零数。
\end{proof}




\end{frame}

\begin{frame}{小结}
  \begin{enumerate}
    \item 为何我们可以用数字矩阵的加法、标量乘法、乘法的规则来定义$\lambda$-矩阵的加法、标量乘法、乘法？
      为何$\lambda$-矩阵的这些运算运算也还有类似的性质？
    \item 如何定义$\lambda$-方阵的行列式？$\lambda$-方阵的行列式有哪些性质？（回想下数字方阵的行列式有哪些性质）
    \item $\lambda$-矩阵的秩如何定义？
    \item $\lambda$-方阵可逆性如何定义？如何用行列式刻画？
  \end{enumerate}
\end{frame}
